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图的存储结构(邻接矩阵)- 数据结构和算法56

图的存储结构(邻接矩阵)

 

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图的存储结构

 

图的存储结构相比较线性表与树来说就复杂很多。

我们回顾下,对于线性表来说,是一对一的关系,所以用数组或者链表均可简单存放。树结构是一对多的关系,所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放。

 

那么我们的图,是多对多的情况,另外图上的任何一个顶点都可以被看作是第一个顶点,任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。

我们仔细观察以下几张图,然后深刻领悟一下:

 

因为任意两个顶点之间都可能存在联系,因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系(内存物理位置是线性的,图的元素关系是平面的)。

如果用多重链表来描述倒是可以做到,但在几节课前的树章节我们已经讨论过,纯粹用多重链表导致的浪费是无法想像的(如果各个顶点的度数相差太大,就会造成巨大的浪费)。

所幸,前辈们已经帮想好了出路,我们接下来会谈图的五种不同的存储结构,大家做好准备哦~

 

邻接矩阵(无向图)

 

考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成,合在一起比较困难,那就很自然地考虑到分为两个结构来分别存储。

顶点因为不区分大小、主次,所以用一个一维数组来存储是狠不错的选择。

 

而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系,一维数组肯定就搞不定了,那我们不妨考虑用一个二维数组来存储。

于是我们的邻接矩阵方案就诞生了!

 

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

 

我们可以设置两个数组,顶点数组为vertex[4]={V0,V1,V2,V3},边数组arc[4][4]为对称矩阵(0表示不存在顶点间的边,1表示顶点间存在边)。

 

对称矩阵:所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足a[i][j]=a[j][i](0<=i,j<=n)。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴,右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的。

 

有了这个二维数组组成的对称矩阵,我们就可以很容易地知道图中的信息:

  1. 要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了;
  2. 要知道某个顶点的度,其实就是这个顶点Vi在邻接矩阵中第i行(或第i列)的元素之和;
  3. 求顶点Vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍,arc[i][j]为1就是邻接点咯。

 

邻接矩阵(有向图)

 

无向图的边构成了一个对称矩阵,貌似浪费了一半的空间,那如果是有向图来存放,会不会把资源都利用得很好呢?

 

可见顶点数组vertex[4]={V0,V1,V2,V3},弧数组arc[4][4]也是一个矩阵,但因为是有向图,所以这个矩阵并不对称,例如由V1到V0有弧,得到arc[1][0]=1,而V0到V1没有弧,因此arc[0][1]=0。

另外有向图是有讲究的,要考虑入度和出度,顶点V1的入度为1,正好是第V1列的各数之和,顶点V1的出度为2,正好是第V1行的各数之和。

 

邻接矩阵(网)

 

在图的术语中,我们提到了网这个概念,事实上也就是每条边上带有权的图就叫网。

 

代码实现

作为一个课后作业给大家自己锻炼下,小甲鱼提供的参考答案仅供参考借鉴:参考答案


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